1/1/2020 - 31/12/2022
Los temas propuestos en este proyecto se dividen en dos grupos principales, interrelacionados entre sí, que describiremos a continuación: a) Por un lado, estudiaremos algunos problemas inherentes a la teoría de marcos (frames, en inglés) en espacios de Krein (finito o infinito-dimensionales). Esta teoría, de aparición relativamente reciente, tiene aplicaciones concretas en el procesamiento de señales, pero requiere también de un tratamiento abstracto, íntimamente relacionado con el análisis matricial y la teoría de operadores. Dentro de los objetivos del plan, se encuentra el enfoque de problemas tanto del ámbito concreto (métodos y algoritmos de construcción de marcos con ciertas propiedades predeterminadas), como del ámbito abstracto, donde buscaremos desarrollar el concepto de marcos de fusión en espacios de Krein. b) Por otro lado, estudiaremos la existencia de "splines indefinidos", es decir, soluciones a los problemas de interpolación y suavizado en espacios de Krein. Los splines, definidos por primera vez por I. J. Schoenberg en 1946, se convirtieron rápidamente en una poderosa herramienta de interpolación y, en la actualidad, no sólo son utilizados en la teoría de aproximación de funciones sino que tienen aplicación también en diversas áreas de la matemática, como el análisis numérico y la estadística, y en ciertos campos de la ingeniería, como el procesamiento de señales y el tratamiento de imágenes. En 1965, M. Atteia propuso el concepto de spline abstracto, que consiste en plantear en el contexto de los espacios de Hilbert, los problemas principales de funciones splines: la interpolación y el suavizado. Siguiendo con estas ideas, nos proponemos estudiar la existencia de splines abstractos en espacios de Krein. Posteriormente, intentaremos establecer cierta relación entre los splines indefinidos y los espacios de Krein con núcleo reproductivo.